Üslü Sayılar Çözümlü Sorular 3

Çözüm: Her satırı kendi içinde değerlendirerek işlemler yapacağız. 1. satırdaki ilk 2 değeri birbirine bölerek a sayısını bulalım.
\( a = \frac{9^5}{81^2} = \frac{(3^2)^5}{(3^4)^2} = \frac{3^{10}}{3^{8}} = 3^{2}\)
Bu durumda; \( a = 3^{2} \) olarak bulunur.
Şimdi b değerini bulmak için aynı işlemi 2. satırda tekrarlayalım.
\( b = \frac{a}{(\frac{1}{3})^9} = \frac{3^{2}}{3^{-9}} = 3^{11}\)
Bu durumda; \( b = 3^{11} \) olarak bulunur. Son olarak c değerini bulmak için benzer bir işlem daha yapalım.
\( c = \frac{b}{(\frac{1}{9})^{-2}} = \frac{3^{11}}{(\frac{1}{9})^{-2}} \)
\(= \frac{3^{11}}{(3^{-2})^{-2}} = \frac{3^{11}}{3^4} = 3^7 \)
\( c = 3^7 \) olarak bulunur.
Şimdi \( \frac{a.b}{c} \) işleminin sonucunu bulabiliriz.
\( \frac{a.b}{c} = \frac{3^{2}.3^{11}}{3^7} = \frac{3^{13}}{3^7} = 3^{6}\)

Çözüm: Bu soruyu rasyonel sayılarda toplama yapar gibi düzenlememiz gerekiyor. Payda eşitlememiz gerekiyor.
\( \frac{3}{x^y + 1} + \frac{3}{x^{-y} + 1} = \frac{3}{x^y + 1} + \frac{3}{\frac{1}{x^{y}} + 1} \)
\(= \frac{3}{x^y + 1} + \frac{3}{\frac{1 + x^y}{x^{y}}} = \frac{3}{x^y + 1} + \frac{3.x^y}{x^y + 1} \)
paydaları eşitlediğimize göre artık toplama işlemini yapabiliriz.
\( \frac{3 + 3.x^y}{x^y + 1} = \frac{3.(1 + x^y)}{x^y + 1} = 3 \)

Çözüm: Bilimsel gösterimi \( x,y.10^z \) şeklinde olan bir sayının tam kısmı olan x sayısı 0 ile 10 aralığında bir tam sayı olmalıdır.
Bu durumda \( 0.000000000000013 \) sayısının bilimsel gösterimi \( 1,3.10^{-14} \) dir.
Böylece;
\( a = 1,3\)
\( b = -14 \) olur.
\( a + b = 1,3 + (-14) = -12,7 \)

Çözüm: Sonucu istenen \( 32^{a-1} \) sayısını \( 2^a \) türünden yazarsak;
\( 2^a \) yerine \( 3 \) yazarak işlemin sonucunu bulabiliriz.
\( 32^{a-1} = (2^5)^{a-1} = 2^{5.(a-1)} = 2^{5a-5} \)
\(= 2^{5a}.2^{-5} = (2^a)^5.2^{-5} = \frac{(2^a)^5}{2^{5}} \)
Son olarak \( 2^a = 3 \) eşitliğini kullanarak cevabı bulalım.
\( 32^{a-1} = \frac{(2^a)^5}{2^{5}} = \frac{3^5}{2^{5}} = \frac{243}{32} \)

Çözüm: \( 8^{2x-4} \) ifadesini üslü sayıların özelliklerini kullanarak \( 2^{x-2} \) türünden yazmalıyız.
\( 8^{2x-4} = (2^3)^{2x-4} = 2^{3.(2x-4)} \)
\(= 2^{6x-12} = 2^{6.(x-2)} = (2^{x-2})^6 \)

\( 8^{2x-4} = (2^{x-2})^6 \) eşitliğinde \( 2^{x-2} = 3 \) yazarak işlemi tamamlayalım.
\( 8^{2x-4} = (2^{x-2})^6 = 3^6\)

Çözüm: Önce \( x = 9.y \) eşitliğinde gerekli düzenlemeleri yaparak \( \frac{y}{x} \) ifadesinin değerini bulalım.
\( x = 9.y \) ise \( \frac{y}{x} = \frac{1}{9} \) olarak bulunur.
\( (\frac{y}{x})^{({-\frac{5}{2}})} = (\frac{1}{9})^{({-\frac{5}{2}})} = 9^{({\frac{5}{2}})} \)
\( = (3^2)^{({\frac{5}{2}})} = 3^{2.{({\frac{5}{2}})}} = 3^5 = 243\)